Los cuadernos de apoyo curricular, ¿favorecen la apropiación de la NEM? Parte III

LA RELACIÓN TEORÍA-PRÁCTICA EN LOS CACPD-M

Trataremos de responder a estas preguntas basando nuestro análisis en esta segunda sección de los Cuadernos denominada Orientaciones para favorecer el desarrollo de las habilidades del Campo formativo a partir del estudio de contenidos de matemáticas.

El capítulo se encuentra dividido en apartados destinados a abordar cada uno de los contenidos considerados en el Programa sintético de la Fase correspondiente.

A su vez, cada apartado contiene tres secciones: Introducción; Aspectos que son importantes de tomar en cuenta para favorecer el desarrollo de habilidades y Actividades para el aprendizaje.

Con el fin de realizar nuestro análisis, hemos distinguido entre orientaciones y actividades, las primeras las hemos obtenido de las dos secciones iniciales y las últimas de la tercera.

Si bien en el primer capítulo de los CACPD-M se ha mencionado de manera exclusiva la Teoría de las Situaciones Didácticas (TAD), al analizar tanto las orientaciones como las actividades sugeridas hemos encontrado que su procedencia corresponde a corrientes teóricas diversas.

Para ejemplificar el tipo de relación entre teoría y práctica que se establece en los CACP-M, tomaremos algunas de estas orientaciones y actividades y examinaremos su vínculo con la corriente denominada “matemáticas modernas”, la cual estuvo ligada a la reforma de la enseñanza de las matemáticas que se dio en casi todo el mundo durante las décadas de los sesenta y los setenta en la educación básica (Ruiz, 1992).

No pretendemos hacer una exposición rigurosa de las bases filosóficas, epistemológicas y psicológicas de esta corriente, simplemente mencionaremos algunos de sus supuestos y exploraremos el tipo de relación que en los Cuadernos se establece entre ellos y las orientaciones y actividades seleccionadas.

Se trata de averiguar si las orientaciones pueden ser consideradas como “reglas técnicas” cuyo propósito es regir la acción (la práctica de las y los docentes) y si están basadas en un saber empírico.

Asimismo, indagaremos si las actividades sugeridas constituyen propuestas concretas que ponen en práctica estas orientaciones.

Lo que “son” las matemáticas, para esta corriente, es descrito por Moreno y Waldegg (1992) como la concepción formalista de la matemática, “que grosso modo, nos presenta esta disciplina como un cuerpo estructurado de conocimientos (las estructuras matemáticas); dicho cuerpo está conformado por los objetos matemáticos, las relaciones entre ellos y los criterios para validar resultados dentro de un marco axiomático-deductivo” (p. 8).

Saber matemáticas, en este enfoque, no consiste en saber realizar cálculos sino en conocer dichas estructuras, en las cuales, los cálculos encuentran su fundamento.

En cuanto al aprendizaje, este enfoque adopta una postura constructivista fuertemente influenciada por los hallazgos de Piaget.

Se considera que los conocimientos se construyen por medio de procesos que parten de las acciones que el sujeto realiza y que le conducen a la conformación de imágenes mentales sobre dichas acciones.

Con base en estos pocos principios teóricos es posible ya “estructurar un conjunto de reglas que, de seguirse, promoverán el aprendizaje”.

Uno de los principales exponentes de las matemáticas modernas fue el matemático húngaro Zoltán Pál Dienes (1970).

Para él, enseñar matemáticas consiste en permitir a las y los estudiantes “descubrir cuáles son esas estructuras, cómo están constituidas y cómo se enlazan unas con otras, y hacerlo colocándolos en situaciones que ilustren concretamente estas estructuras.” (p. 2)

Por tanto, se considera de gran importancia que los alumnos realicen actividades con materiales concretos que puedan “manipular”, que tengan reglas sencillas de manejo y que, de alguna manera, “ilustren” tales estructuras (Mancera, 1988).

Sin embargo, hay que tomar en cuenta que las estructuras matemáticas son objetos abstractos y no los materiales mediante los cuales se las representa.

Para evitar esta confusión es muy importante que las y los estudiantes tengan oportunidad de manipular distintos tipos de material que apelen a la misma estructura con el propósito de que puedan abstraerla como aquello que tienen en común.

Este último postulado se deriva de lo que se denomina como principio de “variabilidad conceptual” dentro de la teoría del aprendizaje de las matemáticas a la que nos estamos refiriendo.

Block (2025) nos ofrece una descripción de este principio:

“… para que los alumnos infieran la estructura matemática subyacente a una noción determinada es necesario variar, en las situaciones que se les presenten, aquellos aspectos que no sean definitorios de la noción, tanto perceptual como conceptualmente” (p. 351).

De acuerdo con el enunciado anterior, el principio de variabilidad conceptual no sólo se refiere a aspectos perceptuales como los ligados a cierto tipo de material, como acabamos de explicar y que se resuelven empleando distintos tipos de material, sino también se refiere a otros aspectos de una noción que se pueden hacer variar utilizando un mismo material.

Por ejemplo, respecto a la noción de base de los sistemas de numeración, se deben presentar a las y los estudiantes situaciones en las que puedan trabajar los agrupamientos con distintas bases, es decir, agrupar de tres en tres (base tres), de cuatro en cuatro (base cuatro), etc.

En este caso, la variación no estaría relacionada con el uso de distintos materiales (se pueden utilizar sólo fichas o sólo bloques), sino con el trabajo sobre distintas bases, con respecto a las cuales la base 10 (agrupamientos de 10 en 10) de nuestro sistema de numeración decimal sería un caso particular.

Como podemos constatar, los enunciados anteriores constituyen ya reglas o principios técnicos para la acción que se derivan de la teoría, dado que nos indican qué es lo que conviene o se debe hacer para favorecer el aprendizaje.

Ahora, rastrearemos la presencia de estos principios o reglas en las orientaciones propuestas en los CACPD-M.

Como mencionamos anteriormente, en el apartado correspondiente a cada uno de los contenidos del Programa sintético es posible ubicar objetivos específicos asociados con el mismo, entonces, comenzaremos retomando uno de dichos objetivos, vinculado con la noción de Números naturales y establecido en el Cuaderno correspondiente a la Fase 3 (SEP, 2025b, p. 17):

Objetivo: Iniciar la comprensión del sistema de numeración decimal (SND).

Recordemos que, como menciona Block (2025), para apropiarse del SDN, los alumnos deben “comprender la noción de base (los agrupamientos recursivos: cada 10 unidades forman una decena, cada 10 decenas, forman una centena, etc.), y la noción de posición (cada una de las unidades compuestas –la decena, la centena, el millar, etc.– se representa mediante la posición de las cifras en el numeral)” (p. 350).

Así, podemos encontrar las siguientes orientaciones dirigidas a alcanzar este objetivo en el Cuaderno de la Fase 3 (SEP, 2025b):

a) Será necesario que niñas y niños practiquen diferentes formas de agrupar elementos de colecciones para contarlos, de tal forma que reconozcan que formar agrupaciones de 10 o 100 elementos es lo más conveniente. (p. 18)

b) Para establecer el valor posicional de las cifras que componen un número es fundamental que consideren que un grupo de 10 o 100 es una unidad. (p. 18)

c) Las representaciones de grupos de 10 son esenciales para entender el sistema de numeración decimal, en particular para la comprensión del valor posicional. Se sugiere trabajar con el uso de agrupaciones, arreglos rectangulares y representaciones conocidas, en particular la decena, para contar y representar colecciones de hasta 100 elementos. (p. 20)

d) Algunos recursos útiles para realizar el intercambio de diez unidades por una decena o diez decenas por una centena son (p. 20):

e) Se recomienda trabajar en un primer momento con el tablero de 10 y con los bloques aritméticos para favorecer la comprensión de que, en el sistema de numeración decimal, en una unidad de orden mayor están contenidas diez unidades de orden menor. (p. 20)

Ahora hagamos algunas anotaciones sobre las orientaciones anteriores:

La «necesidad» de que niñas y niños practiquen diferentes formas de agrupar elementos de colecciones para contarlos, que se expresa en la orientación a), por una parte, parece estar encaminada a trabajar la noción de base a la que se refiere Block, y que es una de las condiciones necesarias para la apropiación del SND.

Por otra, esta orientación muestra una relación con el principio de variabilidad conceptual en cuanto al trabajo con distintas formas de agrupar o bases, de lo que se desprendería que los agrupamientos de 10 en 10 son un caso particular y el que «más conviene».

Es decir, para que los alumnos infieran la estructura subyacente a la noción de base, si bien se puede hacer un énfasis especial en la correspondiente al SND, es necesario que trabajen con distintas de ellas.

En cuanto al valor posicional, la orientación c) sugiere trabajar con el uso de agrupaciones, arreglos rectangulares y representaciones conocidas, pero es en la orientación b) donde se destaca un elemento clave: que se considere que un grupo de 10 o 100 es una unidad.

Para lograr esto la orientación e) sugiere trabajar con dos materiales concretos: los tableros y los bloques aritméticos.

La orientación d) suma a estos dos materiales un tercero: las fichas de colores.

En el caso de los tres materiales, una característica física del material (un tablero completo respecto a fichas «sueltas», en el caso del tableros de 10; una barra respecto a cuadritos, en el caso de los bloques; el color de la ficha en el caso de las fichas) apoya la consideración, por parte de las y los estudiantes, de la decena como una unidad.

Así, lo que en el material está ilustrado por una característica física distintiva, en la escritura del número lo estará por la posición: los maestros se refieren a la posición ocupada por las decenas como tableros completos, barras o fichas de determinado color (en el caso de los CACPD-M de color rojo)

Como podemos observar, este tratamiento de la noción de posición se corresponde también con el principio de variabilidad conceptual en donde una noción abstracta (el valor posicional) debe ser inferida a partir del trabajo con un conjunto de materiales distintos.

Podemos hacer aquí dos comentarios al margen.

Los bloques que en el Cuaderno se denominan aritméticos son justo los materiales conocidos como bloques de Dienes (no confundir con los bloques lógicos del mismo autor) que fueron diseñados para la introducción de las potencias y de los diversos sistemas de numeración.

Por las características de los materiales propuestos, en el caso de los bloques aritméticos y las fichas de colores es posible extrapolar el proceso referente al valor posicional para abarcar las centenas como una unidad distinta, conformada por agrupaciones de 10 decenas.

Por otra parte la actividad denominada El cajero constituye una manera concreta, a partir de un juego, de trabajar la noción de agrupamiento y contribuye, a su vez, al reconocimiento de la decena y la centena como unidades.

En el apartado correspondiente a Suma y resta, y su relación como operaciones inversas, también hemos encontrado una actividad que recurre a los bloques de Dienes con propósitos similares a los perseguidos en el caso de los números naturales, es decir, proporcionar sentido a acciones que pueden parecer abstractas al relacionarlas con el trabajo con material concreto.

De este modo, la acción de “llevar” en el algoritmo escrito cobraría sentido para las o los estudiantes pues correspondería a la transformación de unidades de orden inferior, (unidades o decenas) en una unidad de orden superior (decenas o centenas) cuando se alcanzan 10 de aquellas, lo cual es muy claro cuando se utiliza material concreto.

Con estos ejemplos hemos querido mostrar cómo las orientaciones analizadas, presentes en los CACPD-M, tienen su sustento en la teoría sobre el aprendizaje de las matemáticas de Dienes.

La naturaleza empírica de dicha teoría es expresada por el propio autor en el prefacio de su obra “La matemática moderna en la Enseñanza Primaria” (Dienes, 1970):

“Las sugerencias presentadas aquí representan un ensayo de síntesis de todas estas investigaciones; su formulación práctica ha sido elaborada en Adelaida (Australia) en el curso de los años 1962-64, y prosigue todavía actualmente. Después de estos dos años de trabajo se ha visto que se pueden definir algunas aproximaciones y ciertos métodos que son adecuados a la mayoría de los niños normales (sic)” (p. 1)

CONCLUSIÓN

Finalmente, y como conclusión de este breve análisis, y con base en lo desarrollado hasta este momento, podemos asegurar que los Cuadernos de trabajo denominados Desarrollo de habilidades Matemáticas. Primaria. Fases 3, 4 y 5, lejos de enriquecer las experiencias de apropiación de la nueva propuesta curricular de las maestras y los maestros, se constituyen en un verdadero obstáculo epistemológico (Bachelard, 2000), pues, dichos cuadernos, tienden a reinstalar concepciones, prácticas y relaciones características del paradigma educativo anterior, enmarcado en el enfoque técnico del currículo, lo que dificulta la comprensión y apropiación, por parte de las maestras y los maestros, del nuevo paradigma educativo que significa la Nueva Escuela Mexicana, el cual, como ya se mencionó, puede ser caracterizado como coherente con el enfoque emancipador planteado por Grundy.

En textos posteriores, desarrollaremos las características de los enfoques restantes formulados por Grundy: el práctico y el emancipador.

REFERENCIAS

• Bachelard, G. (2000). La formación del espíritu científico. Siglo XXI.
• Block, D. (2023) La comprensión de los principios de agrupamiento y posición del sistema decimal de numeración en primero y segundo grados de primaria, ¿es posible?, ¿es necesaria?: Una reflexión crítica. En Solares-Pineda, D. y Hess Zimmermann, K. (coords. y eds.). Aprendizajes y contexto: La lengua y las matemáticas en la educación básica. (pp. 349-375). Comunicación Científica. https://doi.org/10.52501/cc.132
• Dienes, Z. P. (1970) La matemática moderna en la Enseñanza Primaria. Teide.
• Grundy, Shirley (1998). Producto o praxis del curriculum. Morata. Madrid, España.
• Ruiz, A. (1992). Las matemáticas modernas en las Américas… Filosofía de una reforma. Educación matemática 4(1) 10-20
• Mancera, E. (1998). Matebloquemática. La forma de aprender matemáticas haciéndose la vida de cuadritos. Grupo Editorial Iberoamérica.
• Moreno, L. y Waldegg, G. (1992). Constructivismo y educación matemática. Educación Matemática, 4(2), 7-15.
• SEP. Secretaría de Educación Pública (2011). ACUERDO número 592 por el que se establece la Articulación de la Educación Básica. Diario Oficial de la Federación.
• SEP. Secretaría de Educación Pública (2022). ACUERDO número 14/08/22 por el que se establece el Plan de Estudio para la educación preescolar,primaria y secundaria. Diario Oficial de la Federación.
• SEP. Secretaría de Educación Pública (2025a). Estrategia Nacional de Formación Continua de Educación Básica 2025. Autor.
• SEP. Secretaría de Educación Pública (2025b). Cuadernos de apoyo curricular para la práctica docente. Desarrollo de habilidades Matemáticas. Primaria. Fase 3. Autor.
• SEP. Secretaría de Educación Pública (2025c). Cuadernos de apoyo curricular para la práctica docente. Desarrollo de habilidades Matemáticas. Primaria. Fase 4. Autor.
• SEP. Secretaría de Educación Pública (2025d). Cuadernos de apoyo curricular para la práctica docente. Desarrollo de habilidades Matemáticas. Primera parte. Primaria. Fase 5. Autor.
• SEP. Secretaría de Educación Pública (2025e). Cuadernos de apoyo curricular para la práctica docente. Desarrollo de habilidades Matemáticas. Segunda parte. Primaria. Fase 5. Autor.